若正整数a,r,m和整数t同时满足以下条件 (1)a>1,r>1,且存在非负整数k使得(a²)^r^k≡a^r^k (mod r) (2)m+t≠1且t≠1 则存在无穷多个正整数n使得m*a^r^n +t是合数 当m=1时, 条件(2)可以被替换成以下任意一个: a为奇数, 或者r不是2的正整数幂, 或者t≠1

设a是任给的非零整数, 是否对任意正整数N, 都存在正整数n使得2^2^n+a存在至少N个两两不相同的素因子 ?

设k为正整数, 若a₁<a₂<…<a_k满足以下条件 (1) gcd(a₁,a₂,…,a_k) = 1 (2) 对任意1≤i≤k, a_i 没有大于k的素因子 (3) 对任意1≤i<j≤k, |a_i - a_j| 没有大于k的素因子 当k足够大时, 是不是都只有(a₁,a₂,…,a_k)=(1,2,…,k)这一组数满足以上要求 ??

目前最大间隙三大猜想公式： 1、数学家克拉默于1936年提出克拉默猜想，给出 最大间隙公式G(p) < (log p)^2，即G(p) =〇(log p)^2。 2、数学家格瑞维勒（Granville）在1995年提出克拉默猜想可能低估最大间隙，给出 G(p) = 2e^（-γ） (log p)^2（约1.12倍克拉默上界）。 3、Banks-Ford-Tao（陶哲轩）基于黎曼假设成立（RH）前提下提出了素数最大间隙上界公式 G(p) =（log p)^2/（log log p)

设t为正整数, k₁,k₂,…,k_t, m₁,m₂,…,m_t是两组给定正整数, 若存在整数a满足对任意1≤i≤t, a与m_i都互素且a^k_i ≠1 (mod m_i), 则存在无穷多个素数p满足对任意1≤i≤t, p与m_i都互素且p^k_i ≠1(mod m_i) 用狄利克雷定理和中国剩余定理可以证明存在无穷多个素数p满足p≡a(mod m₁m₂…m_t), 从而推出这个结论是真命题, 但有没有初等一点的证法呢?

第四版53页第四题

当8个因子的值都是素数，这8个数的乘积便是卡迈克尔数

设N为正整数, i∈{2,3}, a为与i互素的整数, 则存在无穷多个素数p满足p≡-1(mod 2i)且a模p的阶小于(p-1)/N

读《漫谈椭圆曲线》一文随想 设梅森数Mp=2^p-1，对于任一确定的奇素数p，存在梅森方程 64Y^2 - (9p^2)X^2 = 2^p-1 Y^2 / [ √(2^p-1) / 8 ]^2 - X^2 / [ √(2^p-1) / 3p ]^2 = 1 请教《漫谈椭圆曲线》一文作者欣赏欧拉先生： （1）从形式上看，此方程酷似双曲线。能否这么理解？ （2）变形后可得到 Y^2 = (1/64) [ (9p^2)X^2 + 2^p - 1 ] ，是否可类比椭圆曲线研究归纳？ （3）此方程与椭圆曲线类比，能否得到曲线上整点数方面的结论？ （4）Mp=2^p-1 是否存在平方因子

给定ax+by+cz=n，abc两两互素，abcn为正整数， 这时非负整数解个数f（n）=（（n+a+b+c）n+R）/（2abc） 正整解个数g（n）=（（n-a-b-c）+R）/（2abc） 舍去R，就是近似公式，则误差是R/（2abc），R≠0，相对小的abc，R/（2abc）→0，当g（n）或f（n）整除时R=2abc 计算时根据abc的不同误差项R/（2abc）也很大！如325x+503y+2024z=2024503325非负整数或正整数解都误差比较大 即R/（2abc）≈46个 R（正整数）=30193617675 R（非负整数）=30570058675 g（n）=6193619628 f（n）=6193637079

定义数列T(x,y,p)，其中a(1)=x, a(2)=y, a(i)=(a(i-1)+a(i-2))/(p^(v_p(a(i-1)+a(i-2))) 例如T(20,24,2)={20,24,11,35,23,29,13,21,17,19,9,7,1,1,…} T(2,3,3)={2,3,5,8,13,7,20,1,7,8,5,13,2,5,7,4,11,5,16,7,23,10,11,7,2,1,1,2,1,1,2,…}

一个数有没有三种或以上的方式分解成a²+b²的形式？

如果a, b, c的素因子已知，(a, b)=1且a+b=c，求出(a, b, c)的所有正整数解 ~~

在Rogers-Ramanujan恒等式的证明中构建了几个多项式序列，怎么从分拆的角度解释这几个序列

对任意给定数m, 证明存在无穷多个无平方因子数n, 它们的最小素因子大于m, 并且使φ(n)为完全平方数 并且将φ(n)换成σ(n)之后结论同样成立

Zsigmondy定理可以用来解这两个关于正整数u,v,w,n的不定方程 (1)n^v+1=2^u*(n+2)^w (2)(n+2)^w+1=2^u*n^v 其中(2)的原题是2022年CTST的不定方程, 去掉了n为素数的条件

初等数论问题集-A3 问题A3：设正整数a、b使得(ab+1)整除(a2+b2)，证明：(a2+b2)/(ab+1)是完全平方数。

证明或否定: 对任意给定的整数m>1, 只存在有限多个正整数n使得n与m互素, 并且φ(n)与φ(n+m)都是2的非负整数幂次

求这些正整数乘积的最大值

已知a,b,c为正整数，那么abc*a+2,abc*b+2,abc*c+2能否都为完全平方数？

哪些a, b比较好证明，ak+b型素数无穷多？？大家来收集一下下

对正整数m，设φ(m)=k，是否总存在由正整数组成的模m的一组既约剩余系a₁, a₂, …, a_k，使得a₁^a₁, a₂^a₂, …, a_k^a_k也组成模m的一组既约剩余系？ 如果m=p是素数，是否存在由p个正整数组成的等差数列a₁, a₂, …, a_p，公差与p互素，并且使a₁^a₁, a₂^a₂, …, a_p^a_p 组成模p的一组完全剩余系呢 ??

给定正整数k，设数列{a_n}(n≥1)的第n项a_n表示使n^m≡n(mod m)且m≥k的最小合数m 由于Carmichael数存在无穷多个，a_n的取值范围一定在k与不小于k的最小Carmichael数之间，再由同余的性质可以证明{a_n}是周期数列，那么，对给定的k，怎样求{a_n}的最小正周期T(k)呢 ?

正整数n>2，任给n-1个与n互素的整数，可不可以用加减号连接它们，使算出的结果能被n整除?

若n为大于1的整数，n整除(n-1)!+1当且仅当n是素数 这一定理是初等数论最经典的结论之一，最早发现者可能是Ibn Al-Haytham 有证据表明Leibniz发现过这个定理，但没有公开发表。这一结论接近百年后才由Wilson重新发现，Wilson向老师Waring请教，Waring在1770年将其公布于世 然而发现者Wilson和发表者Waring都未能证明这个结论。直到1773年才由Lagrange首次证明，自此Wilson定理成为公开确凿的定理 Wilson定理仅发表以来的历史就超过了200年，如同古玉，至今灼灼，今天每

这个题想了半天硬是没做出来，来个巨佬帮帮忙吧#极限##初等#

以下是原题的加强，在一定范围内验证过都成立，n=3时可以得到原题的答案是2/3

如果素数p和整数a互素，按照费马小定理(a^(p-1)-1)/p是一个整数，这个比值被定义成a模p的费马商q_p(a)，a是它的基底

边长为a, b, c的三角形，如果半周长(a+b+c)/2设为p，那面积S和内径r可以用海伦公式S=√p(p-a)(p-b)(p-c)与内径公式r=S/p算出来 (1)证明对任何正整数n，存在以两两互素的正整数a, b, c为三边，内切圆半径为n的三角形 (2)对给定的n，这样的三角形周长最大可以是多少？

n为正整数，A和B是n阶方阵，A的第i行第j列a_(i, j)等于i和j的所有(正)公因数之和，B的第i行第j列b_(i, j)等于i和j的最大公因数 求证:(1) |A| = n! (2) |B| = φ(1)×φ(2)×…×φ(n)，其中φ(m)是欧拉函数

有人知道吗，我只知道设p，2p，3p点点点中ab是其中一个数

申请人：@蔸蔸白 申请感言：选一个试试

我正在做初等数论及其应用的课后习题，有一道题是判断非负有理数集合是不是良性的，答案说不是，可是我觉得这就是良性的，集合最小值为零啊，所以有没有人告诉我为什么说不是啊

Wolstenholme定理的一种形式是对素数p≥5，1+1/2+1/3+…+1/(p-1)通分后的分子能被p²整除 Leudesdorf定理是对这个结论的推广，将素数p推广到任意正整数n，结论中分数的分母相应地变成1~n中所有与n互素的正整数 其中一种证明方式是分别讨论n的每种素因子p整除通分后分子的幂次，同样要对p≥5或p=2, 3分类讨论

为什么画框这里算出来是模6余1而不是模3余1

①3！＝6 3↑3＝27 ②3！！！！！！（6个）＝6！！！！！（5个）＝720！！！！（4个） 3↑↑3＝3∧（3∧3）＝3∧27 ③3！！！…………（阶乘层数是第二个数的结果） 这种计算方法有没有比高德纳箭头速度快？ 葛立恒数第一层是四个箭头，对应的是第四个数， 第二层箭头数是第一层的结果，对应的是计算出第四个数n，然后找到第n个数对应第二层的结果。 是高德纳箭头快还是阶乘速度快？第64层有没有比葛立恒数大？

3的n次方减1等于2的u次方*5的v次方，如何证明只有一组正整数解？

A72:求满足下列条件的所有非负整数对(n，p):①p是素数②n<2p③[(p-1)^n+1]可以被n^(p-1)整除

证明：对于任意正整数a、n,都存在正整数k满足n | a^k+k (2023 年第6期《中等数学》)

初等数论问题集A1： 问题A1：x、y、z都是正整数，证明：(xy+1)(yz+1)(zx+1)是完全平方数，当且仅当(xy+1)、(yz+1)、(zx+1)都是完全平方数。