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我之前见过一个不一样的方法，等我找找

想起来了，忘了这个是谁提出的了，而且这个方法个人认为不比韦达好想。设a=bq－r，r为除数b－余数，然后可以验证所求式子刚好等于r方。我验证了（8，30）（5，125）（2，8）好像都对

那也许是这题解法噢初等数论问题集-A4

上面的不太对，应该是证(a^2+b^2)/(ab+1)=(b^2+r^2)/(br+1)，并且r的定义可能不是楼上的那个，这个可以放缩证

由题意设c = (a²+b²)/(1+ab)，a, b, c都是正整数，假设a≥b＞0，r=cb-a
那 (b²+r²)/(1+br) = [b²+(cb-a)²]/(1+b²c-ba) = [(a²+b²)-2abc+b²c²]/[(1+ab)-2ab+b²c] = c
则1+br也是正整数，而b又是正整数，所以r≥0
另外a-r = 2a-bc = [2(a+a²b)-b(a²+b²)]/(1+ab) = (2a+a²b-b³)/(1+ab)＞0
所以可以由(a, b)→(b, r)递减，这样一定存在某对(b', r')，其中r'=0，否则b+r的值会一直递减下去
则c = (b'²+r'²)/(1+b'r') = b'²，是完全平方数