使b^a | a^b - 1 且a, b＞1的正整数对只有(a, b) = (2, 3)
问一下各位高亮部分一定需要吗？（可以直...

假设正整数a, b＞1，且 b^a | a^b + 1，则只有(a, b)=(2, 3)的解
如果b是偶数，由于a≥2，则4 | b^a，但a^b是完全平方数，a^b+1≡1, 2 (mod 4) 不被4整除，所以不可能
如果b是大于1的奇数，由b | a^b+1 可得p | a^b-(-1)^b，设b的最小奇素因子是p
则p是与a互素奇素数，由费马小定理 p | a^(p-1)-(-1)^(p-1)
所以p | a^gcd(p-1, b)-(-1)^gcd(p-1, b)
而p是b的最小奇素因子，b是奇数，所以p-1与b互素，gcd(p-1, b)=1，p | a+1
由LTE引理 Vp(a^b+1) = Vp(a+1)+Vp(b)
因为a+1≥3，此时Vp(a+1)≤log_p(a+1)≤log₃(a+1)≤a-1，仅当a=2, p=3时等号成立
Vp(b)是正整数，所以Vp(a^b+1)= Vp(a+1)+Vp(b)≤a-1+Vp(b)≤a*Vp(b)= Vp(b^a)
由 b^a | a^b+1，Vp(b^a)≤Vp(a^b+1)
上式等号一定成立，只可能a=2, p=3, Vp(b)=1
设b=3c, c是与3互素的奇数
则c^2 | (8^c+1)/9，若c=1，式子成立，若c＞1，设q是c的最小素因子 (q是奇素数)
由 c | 8^c+1 同上可得 q | 8+1，与q和3互素矛盾
所以b为大于1的奇数时只有a=2, b=3的正整数解

其它的正整数解只有(a, b)=(a, 1), (1, 2)