还有6k+5型的也好证

8k+7的素数
有关8k 1形和8k 7形素数有无穷多个的一个...
图片里面不太清楚，过程是:
假设所有形如8k+7的素数只有有限个，设乘积为M，则8M²-1一定有一个素因子q≠1(mod 8)
由(2/q)=1, 则q≡7(mod 8)，但q 和M的每个素因子又都不相等，和8k+7型素数有限个矛盾

8k+3的素数有无穷多，这个帖里证明过程是，假设所有8k+3型素数乘积为M, 再证明M²+2一定有一个新的8k+3型素因子
形如8k 3的素数有无穷多个

10k+9
初等数论问题E18不使用Dirchlet迪利克莱定...

12k+11
假设形如12k+11的素数p 只有有限个，设它们的乘积为M, 则12M²-1的每个素因子q≠11(mod 12)
因为(3/q)=1, 一定有q≡1或11(mod 12)，所以q≡1(mod 12), 但这样就得到12M²-1≡1(mod 12)矛盾了

12k+7
假设12k+7的素数只有有限个，设它们的乘积为M, 3M²+4≡3(mod 4)，一定有一个素因子p≡3(mod 4)
又由于(-3/p)=1, 所以p≡1(mod 3), 得到p≡7(mod 12)，但p和M互素，不会在M的素因子中，就矛盾了