x和x²的小数部分相等说明x²-x是整数，设x²-x=k, k为整数
由于x是实数所以k≥-1/4，可得k≥0
当k=0时x=0或1是整数，当k是某个正整数时设y=1-x，则x+y=1, xy=x(1-x)= -k
令a[n]=(x^n-y^n)/(x-y)，则n≥3时a[n]= (x+y)a[n-1]- xya[n-2] = a[n-1]+ka[n-2]
由a₁=1, a₂=x+y=1可知对任意正整数n，a[n]都是正整数，并且n>2时a[n]>1
令b[n]=xⁿ+yⁿ，同理n≥3时 b[n]=b[n-1]+kb[n-2]
由于b₁=1，b₂=2k+1，所以对任意正整数n，b[n]同样是正整数且n>1时b[n]>1
由条件存在n>2使 xⁿ-x是整数
由于xⁿ+yⁿ-(x+y) = b[n]-b₁ 是正整数，所以yⁿ-y 也是整数
又因为整数(xⁿ-x)-(yⁿ-y)= xⁿ-yⁿ-(x-y) = (a[n]-1)*(x-y) 是x-y的正整数倍，所以x-y 是有理数
也就是x-(1-x)= 2x-1是有理数，那x也是有理数，由x²-x=k>0可知x≠0
设x=m/n，其中m, n是非零互素整数且n>0
则 m²/n²-m/n = k，m²-mn=kn，m²=(k+n)n，可得n整除m²，但n与m互素，所以正整数n只可能等于1，则x=m是整数