题目有一个条件：x ≠ y。现在来考虑除了x=2和y=4之外的其他可能情况。
假设存在另一组解，其中x不等于2或y不等于4。我们分两种情况讨论：
如果x ≠ 2，则我们可以找到一个与y ≠ 4相矛盾的情况。
因为如果x ≠ 2，那么y = x - 2。
如果y ≠ 4，那么x - 2 ≠ 4，但这与给定条件x ≠ y相矛盾。
如果y ≠ 4，则我们可以找到一个与x ≠ 2相矛盾的情况。
因为如果y ≠ 4，那么x = y + 2。
如果x ≠ 2，那么y + 2 ≠ 2，但这与给定条件x ≠ y相矛盾。
所以，无论哪种情况都会得出矛盾的结论。

假设y>x，x^y=y^x 取对数之后，相当于 y/log y = x / log x
因为f(t)= t/log t 的导函数f'(t)= (logt - 1)/(log t)²，当t>e时f'(t)>0，f(t)单调递增
所以x≥3时 y/log y > x/log x，也就是x^y > y^x
x=1时x^y=1，y^x = y > 1
x=2时，如果y>4，那y/log y > 4/log 4 = 2/log 2，则2^y > y^2
只可能y=3或4，其中2³<3²，2⁴=4²，所以x=2, y=4是x^y=y^x 且 x<y的唯一一组正整数解

①如果 a 和 a^(m/n)都是正整数, 其中m, n是互素正整数，那 a^(1/n) 也是正整数
可以用算术基本定理，分解素因子来证
②如果 a, b是正整数，M, N是正有理数，而且 a^M = b^N，若 M>N，则 a是b的真因数
这是因为 a^(M/N) = b
设M/N = m/n，m, n是互素正整数，则a^(m/n)=b，由①可得a^(1/n) 是正整数
如果设a^(1/n)= t，则a=t^n, b=t^m
由于m/n = M/N >1，t是正整数，所以a 是 b 的真因数

用这两个结论可以求出来 x^y = y^x 的正有理数解是
x = y 或者 x = [(v+1)/v]^v , y= [(v+1)/v]^(v+1) 或者 x = [(v+1)/v]^(v+1), y = [(v+1)/v]^v
其中v 是任意正整数

过程是这样子:
假设x = m/n，y = s/t，m, n是互素正整数，s, t也是互素正整数
则 (m/n)^(s/t) = (s/t)^(m/n)，也就是m^(sn) / n^(sn) = s^(mt) / t^(mt)
因为 m^(sn) 和 n^(sn) 互素，s^(mt) 和 t^(mt) 也互素，相等的既约分数之间的分子和分母对应相等
也就是m^(sn) = s^(mt)，n^(sn) = t^(mt)
⑴ 假设 sn > mt，则由②，m是s的真因数，n是t的真因数
设 s= ma，t= nb，因为s, t互素，所以a, b也互素
由于 m^(sn/mt) = m^(a/b) = s，由①，m^(1/b) 是正整数
设 m^(1/b)= u，则m=u^b，s=u^a，由m<s可得b<a
同理也存在正整数v 使 n=v^b, t=v^a
所以 a = s/m = u^(a-b)，b = t/n = v^(a-b)，由a>b 可得 u>v
相减得 a-b = u^(a-b) - v^(a-b)
当a-b≥2时 u^(a-b) - v^(a-b) ≥ (v+1)^(a-b) - v^(a-b) ≥ 2^(a-b) -1 > a-b
所以只可能 a-b=1
则 u = a = b+1, v = b
m = (v+1)^v，n = v^v，s = (v+1)^(v+1)，t = v^(v+1)
得到的解是 x = m/n = [(v+1)/v]^v, y = s/t = [(v+1)/v]^(v+1)，可以验证v是任意正整数时都满足原方程
⑵ sn < mt 时，同理得到的解是
m= (v+1)^(v+1), n = v^(v+1), s= (v+1)^v，t = v^v
x = m/n = [(v+1)/v]^(v+1)，y = s/t =[(v+1)/v]^v，其中v是任意正整数
⑶ sn=mt 时，由于m^(sn) = s^(mt)，n^(sn) = t^(mt)，可得m = s, n = t，则 x=y

直接求x^y = y^x 的正整数解可以这样子
假设x < y，由②可得 x 是y 的真因数，设y = kx，k是正整数
由 x^(y/x) = y，即x^k = y
由y > x可得 k≥2 且 x≠1
可得 k = y/x = x^(k-1)
而x≥2且k≥2时 x^(k-1)≥2^(k-1) ≥ k
等号成立当且仅当 x = 2 且 k = 2，也就是x = 2, y = 4
同理 x > y 时只可能 x = 4, y = 2
x = y 时恒成立，所以所有正整数解只有x = y 或者 x = 2, y = 4 或者 x = 4, y = 2

显然，可令x=a^t,y=a^r
则（a^t）^(a^r)=(a^r)^(a^t)，即a^(ta^r)=a^(ra^t)
ta^r=ra^t，t/r=a^(t-r)，t>=r
再令t/r=p,p=a^（（p-1）r）
如果（p-1）r>=2
p>1+（p-1）r，p（r-1）<r-1，p<1,不可能
当（p-1）r=1：r=1，p=2，a=2，t=2，则x=4，y=2
当（p-1）r=0，p=1，x=y