使用多次不等式放缩时，需要注意每次放缩的取等条件。你这里缩了两次（三角不等式和二次函数），但两次取等条件不一样。

为什么要注意取等条件？
例子：a>=0，b-a≥0。问b-a最小值。显然是0。错误是b-a≥b-2a=(b-a)-a≥-a≥-∞。

更何况，你这个三角不等式放缩取等的条件都没法满足。z的取值范围和那条线段没有交点

你证明了这东西必定大于等于2根号2。这是对的。
但是，题目要求最小值。只证出它大于等于什么东西，和最小值没关系。举个极端的例子。我也能证明你这东西必定大于等于-1。但我不能因此就说它的最小值是-1。

典型的等号不成立问题，3楼说得很明白了，你自己不理解还怪别人。先举个例子，求y=x²+1(x≥0)的最小值，这个最小值是1，没问题吧，如果你用不等式，y=x²+1≥2x≥0，求出的最小值是0，不正确的原因是，你使用了两次不等式，两个等号没有同时成立，第一个等号要求是x²+1=2x，第二个等号要求是x=0，两个等号不能同时满足。
回到你这道题，第一个等号是|z|+|z-2|=|2z-2|，第二个等号是a=0，两个等号不能同时满足，你算一下当a=0时，|z|+|z-2|=|2z-2|成立吗？