略有想法，但是不多。

当n是奇数时，因为C(n, j)=C(n, n-j)，式子等于0
当n是偶数等于2k时，好像这个式子能被(3k-1)! /(2k)! 整除

n=2k时和应该等于 (-1)^k × (3k)! / (k!)³，但没想到怎么证明

Lucas定理，然后二项式展开原式？@Hellkat

再顶一手，几乎用了所有的方法来试图证明n=2k时LHS= (-1)^k × (3k)! / (k!)³，但是还是得不出什么结论

我同学帮我从wiki百科上查到的
Dixon's identity (Dixon恒等式)
对任何非负整数a, b, c
∑(-1)^k * C(a+b, a+k)*C(b+c, b+k)*C(c+a, c+k) = (a+b+c)! / (a!*b!*c!)
其中n!表示非负整数n的阶乘，当0≤m≤n时C(n, m)= n!/[m!(n-m)!]，m<0或m>n时C(n, m)=0

不得不说蔸很强

我宣布，这题overcome

质数与合数E16 和这道题是同一类的结论，用这个引理
对奇素数p和次数为k的多项式f(x)，当1≤k<p-1时∑f(i)≡0(mod p)，i=0~p-1
可以把这题的结论推广成:
如果n, k是正整数，p是奇素数且n<p≤[kn/(k-1)] (这里是向上取整)
那∑[(-1)^j*C(n, j)]^k ≡0(mod p)，其中j=0~n
还可以得到，如果F(x)的次数为k，那∑F((-1)^j*C(n, j))≡0(mod p)，j=0~n

现学现卖