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算了一天也没找到初等方法
姑且回个帖吧，谁有初等证明请告诉我一声。
下面是用二元凸函数的证明方法。
做变换y=1/(1+x)-1/2，将目标式化成
注意函数f(x,y)=(1+x)(1+y)/[(1+x)(1-y)+(1-x)(1+y)]的凸性。我懒得算了，用wolfram alpha画个图，看图说话。
然后用jensen不等式即得结论。（不得不说jensen不等式是大杀器，一步就出来了）
由于我们用的是jensen不等式，所以该证明对以下的概率论命题也成立：
设X是非负随机变量，E[1/(1+X)]=1/2，X'和X独立同分布，则
E[1/(X+X')]>=1/2.
姑且回个帖吧，谁有初等证明请告诉我一声。下面是用二元凸函数的证明方法。
做变换y=1/(1+x)-1/2，将目标式化成
注意函数f(x,y)=(1+x)(1+y)/[(1+x)(1-y)+(1-x)(1+y)]的凸性。我懒得算了，用wolfram alpha画个图，看图说话。
然后用jensen不等式即得结论。（不得不说jensen不等式是大杀器，一步就出来了）
由于我们用的是jensen不等式，所以该证明对以下的概率论命题也成立：
设X是非负随机变量，E[1/(1+X)]=1/2，X'和X独立同分布，则
E[1/(X+X')]>=1/2.
19楼2016-02-16 00:07收起回复
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