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证明补充：欧拉1741年的证明
有时候会误解欧拉没有给出真正的证明（在@tq唐乾 提醒前我是这么认为了），实际上他给出过真正严谨的证明，也就是要证明：
而由于我们知道z^n-a^n的分解
令z=1+x/N,a=1-x/N,有
考虑1次项x的系数，我们有C[N]=2,对所有N成立，令N趋于无穷大，左边趋于
e^x-e^(-x),右边是利用Taylor展开cos(y)~1-y^2/2,得到右边为(1+x^2/(k^2*pi^2))
就得到了第一个公式
有时候会误解欧拉没有给出真正的证明（在@tq唐乾 提醒前我是这么认为了），实际上他给出过真正严谨的证明，也就是要证明：
而由于我们知道z^n-a^n的分解
令z=1+x/N,a=1-x/N,有
考虑1次项x的系数，我们有C[N]=2,对所有N成立，令N趋于无穷大，左边趋于
e^x-e^(-x),右边是利用Taylor展开cos(y)~1-y^2/2,得到右边为(1+x^2/(k^2*pi^2))
就得到了第一个公式
IP属地:日本
76楼2014-01-25 17:48
76楼2014-01-25 17:48收起回复
马克
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