果壳网前不久对哈洛德•贺欧夫各特进行了一次采访。在讲到圆法和筛法这些问题时，哈洛德•贺欧夫做了详细的介绍：

问：您的证明是基于圆法的改进，您的方法能用到别的解析数论问题上吗？
答：为了降低常数，我对现有的技巧进行了很多改良。虽然很多改良都是针对弱哥德巴赫猜想这个特殊问题的，但也有一些可以应用到更广泛的解析数论的问题上。其实我认为有几个技巧甚至可以在解析数论以外的纯数学领域，甚至应用数学中找到应用。
在证明当中，我需要找到某种“平滑化”的手段，这涉及到某些积分。你要算一个无限求和的上下界，你不想搞突然截断，舍弃某一项之后的所有东西，你更希望这些项会慢慢变小，“软着陆”，这种技巧叫平滑化。
关于这一点，有个很有趣的故事。在哈代他们的证明里用到了无限求和的平滑化，但维诺格拉多夫的证明就搞的突然截断，而自此之后的大部分相关工作都没有用过平滑化，不过Ramaré和陶哲轩的工作就重新用了平滑化。
在解析数论中这种技术上的“倒退”，就好像当年罗马帝国崩溃之后，人们就忘记怎么造水泥了。就像这样，上一代的数学家好像忘却了平滑化，五十年代人们还在用，六十年代就没人用了。当然，这也要看情况。不过一般来说，还是平滑化的好。
但问题是，用哪种平滑化呢？Ramaré和陶哲轩用到了指数衰减的平滑化。虽然指数衰减用起来很便利，但是还不够平滑和缓。他们的平滑化其实还不错，但我觉得还不够好，所以我就开始自己开发新的技术。我用高斯函数代替了指数衰减，因为高斯函数更加光滑，下降得也更加快。
下面我讲一下技术细节，虽然有点难，但是我觉得还是挺有趣的。
指数衰减其实真的很好搞，因为实际上它与各种变换有很大的关系，比如说傅立叶变换和梅林变换，而我们对这些变换研究得很深入。但对于高斯函数，人们知道其中一些结论，也知道它跟三角函数有些联系。你可能觉得大家已经对这个高斯函数比较熟悉，但事实不是这样，在解析数论里，很少有人用到高斯函数的平滑化，所以有关的常数之类的东西还没人算出来过。反而在应用数学里，因为经常用到高斯函数，反而搞应用数学的人知道得更多。
在解析数论中，我们常常用到所谓的梅林变换，我觉得用到梅林变换的人之中有一半都是搞解析数论的。但梅林变换其实就是拉普拉斯变换的另一种写法。如果我们考虑高斯函数与三角函数乘积的梅林变换，我们会得到所谓的“抛物圆柱函数”。其实一年前我还不知道这个函数叫啥，但貌似物理学家和工程师是这么叫的。他们用这个函数用得不少，但对它的了解却不太透彻。我们知道一些渐近估计，但没有明确的常数，也没有明确的误差项。
所以我必须自己来搞清楚这些东西，我花了一个半月的时间。因为我平时不搞这个领域，当然比专精的人要慢些。我把这方面的结果都写进论文里了，我觉得这些结果对于工程师和物理学家来说可能会有用，他们可能还会推进这些结果。结果还得走着瞧，不过我觉得这是个很好的例子，说明数论工作也可能有实际应用，因为在数论研究中，我们需要改进各种工具，而这些工具不一定是数论专用的，可能在别的数学领域中也会用到。

问：您的证明里用到了圆法，而张益唐的证明用到了筛法。您能介绍一下这两种方法的异同吗？
答：筛法和圆法其实是很不同的，不过也有相似的地方。有一种叫“大筛法”的，就跟圆法有关。但这与张益唐主要用的“小筛法”很不同，当然他也稍微用到了一些大筛法。圆法的本质就是应用在数论中的傅立叶分析，简单来说就是对圆周上的函数进行分析。而筛法的目的则是给出素数分布的一种近似估计。
在我的论文中就用到了大筛法和圆法的关系。在大筛法中的一些技巧可以直接用到圆法中，反之亦然。两者其实是同一枚硬币的正反两面。张益唐的证明也用到了大筛法，因为他需要类似邦别里-维诺格拉多夫定理的结果，而那个定理是用大筛法的。其实大约在八年前，大家就知道只要把邦别里-维诺格拉多夫定理的某个特殊情况推广一下，就可以得到张益唐的结论，而张益唐做的就是这一点。八年来很多聪明人都铩羽而归，大家都觉得这是个很难的问题，但张益唐成功了。我还没细读他的论文，但我感觉他虽然在这个意义上用到了大筛法，但他的改进并不在大筛法上，而是有关其它技巧的改进。
但他和我的证明也有相似之处。我们的论证都是基于维诺格拉多夫建立的所谓I类和II类和。在我的和他的论文里都用到了这些概念。

问：在解析数论中，除了筛法和圆法，还有别的主流方法吗？
答：比如说广义黎曼猜想，我们可以证明一些有限的特殊情况，然后利用这些特殊情况去证明别的东西。这大概有两种做法。
一是直接去证明一些更弱的结论，其中一个例子就是所谓的“无零点区域”。我们还不知道怎么证明所有非平凡零点的实部都是1/2，但我们可以证明零点必定在某个包含所谓“临界线”（实际上就是实部为1/2的复数组成的直线）的区域内，而这个区域在实轴附近很小。这种限制能告诉我们一些重要的信息，而人们一直在使用类似的结论来证明别的问题。
二是直接去验证零点。我们可以说，对于虚部大于一定数值的零点，我们一无所知；但对于虚部不太大的零点，我们可以直接用计算机去验证。这样的好处是，对于这些虚部不太大的零点，我们能完全确定它们的位置，而并非只知道它们在某个区域内。但我们只能对有限个L函数验证这些结论，而“无零点区域”类的结论可以应用到所有L函数上。不过，这种有限的验证也更容易做到。
其实还有很多很多的小技巧，不过它们还没有到达“方法”这一层面。