我是这么设的，满足题目条件的函数可以是以T=1的正弦函数，和以T=2的余弦函数，则可以排除①②，然后怎么前排除？按照上面的解释，f(x)的T为4？矛盾了？

呵呵，刚在没在写课件了，
等我看一下。

第一个凭直觉觉得是偶函数。
具体是什么得推。

你要注意我的公式的使用条件：
4只是他的一个周期。未必是最小正周期。
你这个选择T=1 ，T=2
自然是他的一个周期了，
但同时你把这个函数特殊化了，也就是你人为的增加了条件，推出的结论就未必正确。
呵呵，你再拿T=0.5，T=0.1都成立。

是的
f(x)非奇非偶

特殊值只能用来做排除，不能肯定一个结论，但足以否定一个结论。

对于答案，我不敢苟同。
我只认课本定理。
解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称，不是数也不是偶函数，①②错；
那么cos（πx/2)
的对称点是(-1,0)，（1,0）能说它非奇非偶吗？

相比较而言
你的特殊值法用的比较好。
呵呵，我得向你学习。
特殊值不能肯定一个结论，但足以推翻一个命题。

注意到到了吗？
f(x)不是非奇非偶，而是他的奇偶性不确定，
不是奇函数，就是偶函数。
（以上结论仅代表本人对该题的认识，有待证实）

呵呵，谢谢这道题目。
我想想怎么证明
两个对称中心的中点不是对称轴就是对称中心的真假。

你先告诉我
这个答案是你写的，还是标准答案，
这么看起来这么不“标准”.

从我的结论中不足以否定命题③
看来得得完善一下：
加入如下条件就跟完美了。
如果对称中心（轴）之间没有其他的对称中心（轴），
那么上述结论中中的周期就只最小正周期。
不过
遇到填选题直接当最小正周期。

想想又不明白了@柱子哥_fgz 

算了吧！我还是完整的推一遍吧！用特殊值。
函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，给出下面关于f（x）的命题：①f（x）是偶函数 ②f（x）是奇函数③f（x）=f（x+2）④f（x+3）是奇函数
令f(x)=sin（πx），
则f(x+1)=
sin(π(x+1))
=-sin（πx)
=-sin(π-πx)
=-sin(π(-x+1)
=-f(-x+1)
所以f(x+1)是奇函数，同理
f(x-1)是奇函数。
又因为f(x)是奇函数,所以①错。
f(x+2)
=sin(π(x+1))
=sin（πx)
=f(x)
所以③成立。
令g(x)=cos（πx/2），
则g(x+1)=
cos(π(x+1)/2)
=-cos（-π(x+1)/2+π)
=-cos(π(-x+1)/2)
=-g(-x+1)
所以f(x+1)是奇函数，同理
g(x-1)是奇函数。
又因为g(x)是偶函数,所以②错。
同理
g(x+2)
=cos(π(x+2)/2)
=cos(πx/2 +π）
=-cos(πx/2)
=-g(x)
≠g(x)
所以③不成立。
同样的命题③
取用不同的特殊值既可以让其成立，也可以让其不成立。
那你说③究竟成立不成立？？
所以说特殊值只能否定一个命题不能肯定一个命题。
对于④
f(x+3)=f(x-1)
所以f(x+3)是奇函数
所以④成立。
对于④我们没采用特殊值，这个结论恒成立。