(九).兩位商數的简單法 4956÷118=42 逢四進四，一四除四，四八除三十二，逢二進二，一二除二，二八除十六。 6902÷203=34 逢六進三，三三除九，逢八進四，三四除十二。 20664÷328 三二六余二，二六除十二，六八除四十八，逢九進三，二三除六，三八除二十四。 21075÷843=25 八二下加四，二四除八，二三除六，八四改作五，四五除二十，三五除十五。

(八).混合法 2192÷274=8 見二無除作九二，退一下還二，七八除五十六，四八除三十二。 2625÷375=7 三二六剩二，逢六進二，退一下還三，七七除四十九，五七除三十五。 這個題的口訣也可以用：三二六剩二，逢六健一， 七七除四十九，五七除三十五。

(七).退還法和無除法 849÷283=3 逢八進四，退一下還二，三八除二十四，三三除九。 4067÷581=7 五四倍作八，退一下還五，七八除五十六，一七除七。 3213÷357=9 見三無除作九三，五九除四十五，七九除六十三。 8001÷889=9 見八無除作九八，八九除七十二，九九除八十一。

(六).再商法 1296÷216=6 二一添作五，逢二進一，一六除六，六六除三十六。 2680÷335=8 三二六余二，逢六進二，三八除二十四，五八除四十。 1968÷328=6 三一三余一，逢九進三，二六除十二，六八除四十八。 3316÷829=4 八三下加六，逢八進一，二四除八，四九除三十六。

(四).一歸部分的混合法 習題 1008÷126=8 見一無除作九一，退一下還一，二八除十六，六八除四十八。 習題1036÷148=7 見一無除作九一，退二下還二，四七除二十八，七八除五十六。

(三).一歸部分的無除法 1152÷128=9 見一無除作九一，二九除十八，八九除七十二。 算法： 1).定位。 128 |1152 2).只看被除數的第一位數和除數的第一位數，好像可以在商數的十位上得出1。但是，被除數的前兩位數比除數小。因此知道這個題一定不能在商數的十位上得出1，至多可以在商數的個位上得出9。這時候就用見一無除作九一得出假商數9。 128 |9252 3).作二除，128 |9 72 再作8除，128 |9 假商數9就变成眞商數了。 習題1575÷175=9 見一無除作九一，七九除六

(五).简單法 1065÷213=5 二一添作五，一五除五，三五除十五。 2070÷345=6 三二六余二，四六除二十四，五六除三十。 6232÷779=8 七六八剩四，七八除五十六，八九除七十二。

(二).一歸部分的退還法 889÷127=7 逢八進八，退一下還一，二七除十四，七七除四十九。 算法： 1).定位。127 | 889 2).作一歸，用逢八進八得出假商數8，但是不够除。3).用撞歸訣退一下還一把假商數变成7。這時候够除了。127 |8 89 127 |7189 4).作二除，再作七除就把假商數7变成眞商數了。 127 |7 49 127 |7 712÷178=4 逢七進七，退一下還一，退一下還一，退一下還一，四七除二十八，四八除三十二。 算法： 1).定位。178 | 712 2).作一歸，用逢七進七得出假商數7。但是

(一).一歸部分的簡單法 三位除數的除法也叫作歸除。被123除的除法叫作一歸二、三除(不叫作一歸二十三除)。被678除的除法叫作六歸七、八除。被105除的除法叫作一歸零、五除(不叫作一歸五除)。被幾百幾十幾除的除法就叫作幾歸幾、幾除。 定位。作三位除數的除法，要把被除數的個位往前(左)挪三位，变成商數的個位。 369÷123=3 逢三進三，二三除六，三三除九。這個題讀作三百六十九作一歸二、三除。 算法： 1）.定位。123 | 369 2）.作一歸：用逢三進

小結 撞歸法口訣和退一還原法： 商九口訣 退商口訣 【除數是一】見一無除作九一，無除退一下還一。【除數是二】見一無除作九二，無除退一下還二。【除數是三】見一無除作九三，無除退一下還三。【除數是四】見一無除作九四，無除退一下還四。【除數是五】見一無除作九五，無除退一下還五。【除數是六】見一無除作九六，無除退一下還六。【除數是七】見一無除作九七，無除退一下還七。【除數是八】見一無除作九八，無除退一下還八。

多位商數的一般方法 136÷17=8 見一無除作九一，退一下還一，七八五十六。 13600÷17=800見一無除作九一，退一下還一，七八五十六。 13736÷37=808見一無除作九一，退一下還一，七八五十六。見一無除作九一，退一下還一，七八五十六。 28614÷38=753 三二六余二，逢九進三，退二下還六，七八除五十六，三二六余二，退一下還三，五八除四十，三一三余一，三八除二十四。 1173÷23=51 二一添作五，三五除十五，逢二進一，一三除三。 117300÷23=5100 二一添作五，

兩位商數的一般方法2. 4032÷48=84 見四無除作九回，退一下還四，八八除六十四，四一二剩二，逢八進二，四八除三十二。 6486÷94=69 九六下加六，四六除二十四，九八下加八，逢九進一，四九除三十六。

兩位商數的一般方法1. 391÷17=23 逢三進三，退一下還一，二七除十四，逢五進五，退二下還二，三七除二十一。 976÷61=16 逢六進一，一一除一，六三添作五，逢六進一，一六除六。 812÷28=29 逢八進四，退二下還四，二八除十六，見二無除作九二，八九除七十二。

兩位商數的簡單法1. 276÷12=23 逢二進二，二二除四，逢三進三，二三除六。 775÷25=31 逢六進三，三五除十五，逢二進一，一五除五。 554÷34=16 逢三進一，一四除四，三二六余二，四六除二十四。 兩位商數的簡單法2. 1173÷23=51 二一添作五，三五除十五，逢二進一，一三除三。 1120÷35=32 三一三剩一，三五除十五，逢六進二，二五除一十。 4104÷76=54 七四五余五，五六除三十，七三四剩二，四六除二十四。

用兩種方法演算的方法叫做混合法。 136÷17=8 見一無除作九一，退一下還一，七八除五十六。 203÷29=7 見一無除作九二，退一下還四，七九除六十三。 544÷68=8 六五八余二，逢六進一，退一下還六，八八除六十四。 或六五八余二，八八除六十四。 182÷26=7 二一添作五，逢八進四，退二下還四，六七除四十二。 或二一添作五，逢四進二，六七除四十二。

無除法2. 演算207÷23=9 這個題逢二進一以後，不够除。退一下還二以後，假商數又沒有了，变囘原來的被除數了。因此知道這個題像上述【無除法1】段那樣，不能在商數的十位上得出1，至多可以在商數的個位上得出9。算法是把被除數2在本位变成假商數9，再在它的下一位加上餘數2(因為20÷2=9餘2)，再作三除，就把假商數9变成眞商數了。見二無除作九二。(20÷2=9餘2)。{見二}是說作二歸的时候，在算盤上遇見被除數的第一位數是2，{無除}是說不能在它的前

無除法1. 演算108÷12=9 這個題，逢一進一以後，不够除。可是退一下還一以後，假商數又沒有了，变囘原來的被除數了。因此知道這個題一定不能在商數的十位上得出1。也就是說商數要比10小。並且在筆算上，只看被除數的前兩位數比除數小，也可以知道一定不在商數的十位上得出1。因此，至多可以在商數的個位上得出9。根據這此理由，這個題就可以用下面的方法演算了：把被除數的百位數1，换成十位數的10(一颗上珠和五颗下珠)。因為從上面已經知

五.退還法 退一下還一。 作一歸得來的假商數1，是從它的下一位的被除數1变來的(逢一進一)。因此，也可以把假商數1退囘去，在它的下一位变成被除數1，這就是退一下還一。是在作一歸的时候，在假商數本位减去1，在它的下一位加上1。這樣的口訣是撞歸訣，叫做退還類撞歸訣。 習题：84÷12=7 逢八進八，退一下還一，二七除十四。 算法： 1).定位。12 | 84 2).作歸法，用逢八進八得出假商數8。但是被除數只餘下4，不够减去作二數的乘积16，因此知道假

(四).再商法 46÷23=2 逢四進二，二三除六。 這個題的另一算法的口訣：逢二進一，逢二進一，二三除六。 78÷39=2 逢六進二，二九除十八。 這個题的另一算法的口訣：逢三進一，逢三進一，二九除十八。 從這兩個題看出，假商數可以由它下一位的被除數用兩次逢進類口訣得來，也就是假商數可以是作兩次歸法得來的。 126÷21= 二一添作五，逢二進一，一六除六。 算法：1).定位。21 |126 2).先用二一添作五作一次歸法，得出假商數5。 21 |526 3).因為假期商數5

(一)簡單法2：習题84÷21=4 逢八進四，一四除四。這個題讀作八十四作二歸一除。 算法：1).定位。21 | 84 2).被除數的十位數8作二歸，得出假商數4。 21 |4 4 3).作一除，在假商數4的下二位，把除數的個位數1和假商數4相乘的積數4减去，假商數4就变成眞商數了。21 |4 習題75÷25=3 缝六進三，三五除十五。 算法1).定位。 25 | 75 2).被除數的十位數7作二歸，得出假商數3。 25 |315 3).作五除，把假商數3的下一位當作十位，再下一位當作個位，從被除數中，把除數的個

(一).簡單法1：被一除的除法叫做一歸。任何數被1除都得原來的數。固此，在舊珠算書中有{一歸不須歸}，意思是被1除的題目不用演算，因為商數和被除數相等。在一位除數的除法中，是用不着一歸口诀的。但是，在兩位除數和多位除數的除法中，就要用一歸口诀了。 逢一進一。(1÷1＝1)。 逢二進二。(2÷1 = 2)。 逢三進三。(3÷1 = 3)。 逢四進四。(4÷1 = 4)。 逢五進五。(5÷1 = 5)。 逢六進六。(6÷1 = 6)。 逢七進七。(7÷1 = 7)。 逢八進八。(8÷1 = 8)。 逢九進九

1.用m代表被除数的位数；用n代表除数的位数， 1).如果被除数的最高位数字小于除数的最高位数字时，用公式：m-n 即被除数的位数减去除数的位数，等于商的位数。 12440÷300=41.46666667 被除数的最高位数字为1小于除数的最高位数字3，故用公式m-n即5-3=+2 0.028÷7=0.004 被除数的最高位数字2小于除数的最高位数字7故用公式m-n即(-1)-(+1)＝-2 2).如果被除数的最高位数字大于除数的最高位数字时，用公式：m-n+1 即被除数的位数减去除数的位数，再加上一位，等于商

除法的定位和乘法的定位恰好相反，也就是看除数的整数有几位，那么商的个位便在算盘上原来被除数个位的左面第几档上。 除数只有一位，那末商的个位便在算盘上原来被除数个位的左面一档上。 有的除数虽然是多位数，但是除了第一位不是0以外，后面都是0，那末在算盘上打这种除数的除法，和除数是一位数的打法是完全相同的。但要注意，定位的时候不要把除数后面的0所表示的位数漏掉计算。

已知两个数的积和其中一个乘数，求另一个乘数的计算方法叫做除法。 1.一位数的除法，也叫做九归法、单归。 九归口诀： 【除数是1】 逢一进1 逢二进2 逢三进3 逢四进4 逢五进5 逢六进6 逢七进7 逢八进8 逢九进9 【除数是2】 二一改作5 逢二进1 逢四进2 逢六进3 逢八进4 【除数是3】 三一3余1 三二6余2 逢三进1 逢六进2 逢九进3 【除数是4】 四一2余2 四二改作5 四三7余2 逢四进1 逢八进2 【除数是5】 五一改作2 五二改作4 五三改作6 五四改作8 逢五进1 【除数

定位的公式记熟，用公式定位是很方便的，可以节省记档的时间。积的定位公式如下：1.用m代表被乘数的位数。2.用n代表乘数的位数。如果被乘数与乘数相乘，其积是进位时，可用公式“一” (m+n)即被乘数位数加上乘数的位数，等于乘积的位数。403 x 30 ＝ 12240 (相乘是进位）(被乘数+3 ) (乘数+2）＝ 5因为两数的最高位4与3相乘是12，所以是进位的，便可用公式“一”来定位。4.82 x 0.06＝0.2892 (相乘是进位）左(正)1 右(负)1用公式(一) m+n即(+1)+(-1)＝0，所以(0)

定位的公式记熟，用公式定位是很方便的，可以节省记档的时间。积的定位公式如下： 1.用m代表被乘数的位数。 2.用n代表乘数的位数。 如果被乘数与乘数相乘，其积是进位时，可用公式“一” (m+n)即被乘数位数加上乘数的位数，等于乘积的位数。 403 x 30 ＝ 12240 (相乘是进位） (被乘数+3 m ) (乘数+2）＝ 5 因为两数的最高位4与3相乘是12，所以是进位的，便可用公式“一”来定位。 4.82 x 0.06＝0.2892 (相乘是进位） 左(正)1 右(负)1 用公式(一) m+n 即(+1)+(-1)＝0

小数乘法和整数乘法的打法完全一样。乘算出后的定位方法，原则上和整数乘法的定位方法一样。为了便于掌握起见，可以分别以下三种情形来说明： 1.如果乘数是带小数，那末只要数一数其中的整数有几位，积的个位一定在原来被乘数个位的右几档。 2.如果乘数是纯小数，小数点后没有0，也就是十分位上有数字的，那末积的个位就在原来被乘数的个位档上。 3.如果乘数是纯小数，而且乘数的头一个数字和小数点之间有0，那末只要数一数有几个0，积

1.乘数是一位数的乘法： 算盘上打乘法的数位不像加减法那样是固定的。算好后，算盘上表示的积还要重新定位。不论乘数是一位数还是多位数，只要看乘数的整数有几位，那末积的个位便在算盘上原来被乘数个位那一档的右面第几档上。乘数只有一位，那么积的个位便在算盘上原来被乘数个位档的右面一档上。 定位的时候要注意的，就是不要把被乘数和乘数末尾的0漏都计算在内。 2.乘数是多位数的乘法： 一种比较常用的方法，就是乘的时候把乘数

1.已知两个数的和，与已知其中一个加数，求另一个加数的计算方法。与加法互为逆运算。 2.减法定位 原则上和加法相同，只是在运算时，加法够十需往上进一档，而减法不够时，需从上档借一位数减之。 3.减法口诀： 1).直接减的：两数相减，在本档上算珠够减时，可以直接减去。 一去一 二去二 三去三 四去四 五去五 六去六 七去七 八去八 九去九 2).破五减的：被减数已占用上珠还占用一部分下珠，如果要减去五以内的数，下珠不够减，减去上珠又

1.把几個數合併在一起求一共是多少的計算方法叫做加法。 2.加法的定數位： 在未拨珠之前，应事先确定好個位，放在那一挡上，然后開始計算就不易错位。 一般個位都放在算盘的計位点上。 3.加法計算法則： 1).直接的加法：两數相加，在本檔上算珠够加时，就可以直接加上所要加的數目。 不進位加法: 一上一 一上一 二上二 三上三 四上四 五上五 六上六 七上七 八上八 九上九 打加法的时候，凡是本档的上珠和下珠都够用，加上以后不满十，用不着

習題：求13771.926立方根至十分位。 一.3除被开立方数：照盘上分节右退二档拔被开立方数，0013777.926，除以3，得：004590.642。 二.求首根：从第一节求首根，查基数1/3立方表即得：004590.642，其次在第一节第一档拔首根，得：201923.9753|。 三.把已知首根整除它的右边各数至次根从属的一节，得：20961|1.9753 四.已知首根除它右数前段，求商数一位作为新根，得：241611.9753。随减次根自乘方，得：240011.9753。 五.次根的右数至点指一档，乘已知首根，得：240003.975

拨珠指法： 七珠大算盘，一般的拨珠指法是用拇指、食指和中指。 拇指——下珠向上拨时可用拇指。 食指——下珠向下拨时可用食指。 中指——上珠向上拨和向下拨时可用中指。 必须熟练两指的联合动作，即同时用拇指及食指拨动上下珠。

1³x1/3———000.333333 2³x1/3———002.666666 3³x1/3———009.000000 4³x1/3———021.333333 5³x1/3———041.666666 6³x1/3———072.000000 7³x1/3———114.333333 8³x1/3———170.666666 9³x1/3———243.000000

習题：1423828125開立方. 一.照盤上分節右退三檔撥被開立方數：0001423828125，除以3，得：000474609375。 二.求首根：從第一節求首根，查基數1/3立方表即得，先徙第一節起减首根的1/3立方，得：0001412760416。其次，在第一節第一档撥首根，得：1001412760416。 三.求次根：把首根整除它的右邊各數至新根从属的一节(第二节)，在商數末位，點指作記。得：10141|02760416。 四.已知首根整除它右數前段，求商数一位作為新根，随减新根自乘方，得：1103102760416。 五.次根

習题：14832537993開立方. 一.照盤上分節右退二檔撥被開立方數：0014832537993，除以3，得：004944179331。 二.求首根：從第一節求首根，查基數1/3立方表即得，先徙第一節起减首根的1/3立方，得：002277512665。其次，在第一節第一档撥首根，得：202277512665。 三.求次：把首根整除它的右邊各數至新根从属的一节(第二节)，在商數末位，點指作記。得：21138|1512665。 四.已知首根整除它右數前段，求商数一位作為新根，得：243381512665，随减新根自乘方，得：24178|15126

習題：归除法開988047936的立方 置盤：0988047936。 一.應用立方九九得第一位根，置於第一组之前一位，并於第一組内，减去該根之立方：9259047936。 二.以首根整除其次五位，得：9287827936。所得之商又以3整除之：9959|127936。 三.以第一位根除其次位，求出商数一位，即為次根：99 10/4 9127936。 四.以次根之平方於其次位减之，得：9968127936。 五.以3乘次根以次之二位，得：9920527936。又以首根乘次根以次之三位，得：9918477936。 六.於第二组减次根之立方得：9917

習题： 988047936開立方. 一.照盤上分節右退一檔撥被開立方數：0988047936，除以3，得：329349312。 二.求首根：從第一節求首根，查基數1/3立方表即得，先徙第一節起减首根的1/3立方，得：086349312。其次，在第一節第一档撥首根，得：986349312。 三.求次根：把首根整除它的右邊各數至次根从属的一节(第二节)，在商數末位，點指作記。得：99594|3312。 四.已知首根整除它右數前段，求商数一位作为次根，得：99 10/4 943312，随减次根自乘方，得：996343312。 五.次

習题：843908625開立方. 一.照盤上分節右退一檔撥被開立方數：0843908625，除以3，得：281302875。 二.求首根：從第一節求首根，查基數1/3立方表即得，先徙第一節起减首根的1/3立方，得：038302875。其次，在第一節第一档撥首根，得：938302875。 三.求次根：把首根整除它的右邊各數至新根从属的一节(第二节)，在商數末位，點指作記。得：942557|875。 四.已知首根整除它右數前段，求商数一位作為新根，得：946557875，随减新根自乘方，得：944957875。 五.新根右

習題：归除法開843908625的立方 置盤：0843908625。 一.應用立方九九得第一位根，置於第一组之前一位，并於第一組内，减去該根之立方：9114908625。 二.以首根整除其次五位，得：917668625。所得之商又以3整除之：9425168625。 三.以第一位根除其次位，求出商数一位，即為次根：9465168625。 四.以次根之平方於其次位减之，得：9449168625。 五.以3乘次根以次之二位，得：9414868625。又以首根乘次根以次之三位，得：9413388625。 六.於第二组减次根之立方得：9413324625

習题：736314327開立方. 一.照盤上分節右退一檔撥被開立方數：0736314327，除以3，得：245438109。 二.求首根：從第一節求首根，查基數1/3立方表即得，先徙第一節起减首根的1/3立方，得：002438109。其次，在第一節第一档撥首根，得：902438109。 三.求次根（經核實次根為零)：把首根整除它的右邊各數至新根从属的一节(第三节)，在商數末位，點指作記。得：90270901。 四.已知首根整除它右數前段，求商数一位作為新根，得：90300901，随减新根自乘方，得：903000

習題：归除法開736314327的立方 置盤：0736314327。 一.應用立方九九得第一位根，置於第一组之前一位，并於第一組内，减去該根之立方：9007314327。 二.以首根整除其次七位，得：9008127027。所得之商又以3整除之，得：9027090027。 三.以首、次位根整除其次各位，求出商數一位，為第三位根，得：9030090027。並於餘數内减去第三位根之平方，得：9030000027。 四.於第三组减第三位根之立方得：9030000000。 餘实除尽。所以，736314327開立方為：903。

習题： 0688465387開立方. 一.照盤上分節右退一檔撥被開立方數：0688465387，除以3，得：229488462.3|。 二.求首根：從第一節求首根，查基數1/3立方表即得，先徙第一節起减首根的1/3立方，得：058821795.6|。其次，在第一節第一档撥首根，得：858821795.6|。 三.求次根：把首根整除它的右邊各數至次根从属的一节(第二节)，在商數末位，點指作記。得：87352|5795.6|。 四.已知首根整除它右數前段，求商数一位作为次根，得：889525795.6|，随减次根自乘方，得：88312|5795.

習题：225866529開立方. 一.照盤上分節右退一檔撥被開立方數：0225866529，除以3，得：075288843。 二.求首根：從第一節求首根，查基數1/3立方表即得，先徙第一節起减首根的1/3立方，得：003288843。其次，在第一節第一档撥首根，得：603288843。 三.求次根（經核實次根為零)：把首根整除它的右邊各數至新根从属的一节(第三节)，在商數末位，點指作記。得：605481405|。 四.已知首根整除它右數前段，求商数一位作為新根，得：609081405，随减新根自乘方，得：609

習題：归除法開225866529的立方 置盤：0225866529。 一.應用立方九九得第一位根，置於第一组之前一位，并於第一組内，减去該根之立方：6009866529。 二.以首根整除其次七位，得：6016444129。所得之商又以3整除之，得：6054811129。 三.以首、次位根整除其次各位，求出商數一位，為第三位根：6090811129。並於餘數内减去第三位根 之平方，得：6090001129。 四.以首根、次根乘第三位以次之四位，得：6090000729。 五.於第三组减第三位根之立方得：6090000000。 餘实除

習題：归除法開688465387的立方 置盤：0688465387。 一.應用立方九九得第一位根，置於第一组之前一位，并於第一組内，减去該根之立方：8176465387。 二.以首根整除其次五位，得8220565387：。所得之商又以3整除之：8735065387。 三.以第一位根除其次位，求出商数一位，即為次根：8895065387。 四.以次根之平方於其次位减之，得：8831065387。 五.以3乘次根以次之二位，得：8809365387。又以首根乘次根以次之三位，得：8807505387。 六.於第二组减次根之立方得：8806993387

習题： 308915776開立方. 一.照盤上分節右退一檔撥被開立方數：0308915776，除以3，得：102971925.3…。 二.求首根：從第一節求首根，查基數1/3立方表即得，先徙第一節起减首根的1/3立方，得：030971925.3…。其次，在第一節第一档撥首根，得：630971925.3…。 三.求次根：把首根整除它的右邊各數至次根从属的一节(第二节)，在商數末位，點指作記。得：651615925.3…。 四.已知首根整除它右數前段，求商数一位作为次根，得：679615925.3…，随减次根自乘方，得：674

習題：归除法開308915776的立方 置盤：0308915776。 一.應用立方九九得第一位根，置於第一组之前一位，并於第一組内，减去該根之立方：6092915776。 二.以首根整除其次五位：6154835776。所得之商又以3整除之：6516035776。 三.以第一位根除其次位，求出商数一位，即為次根：6796035776。 四.以次根之平方於其次位减之，得：6747035776。 五.以3乘次根以次之二位，得：6714135776。又以首根乘次根以次之三位，得：6708495776。 六.於第二组减次根之立方得：6708152776。

《九诫》 汉·严光 嗜欲者，溃腹之患也； 货利者，丧身之仇也； 嫉妒者，亡躯之害也； 谗慝者，断胫之兵也； 谤毁者，雷霆之报也； 残酷者，绝世之殃也； 陷害者，灭嗣之场也； 博戏者，殚家之渐也； 嗜酒者，穷馁之始也。

習題：归除法開487443403的立方 置盤：0487443403。 一.應用立方九九得第一位根，置於第一组之前一位，并於第一組内，减去該根之立方：7144443403。 二.以首根整除其次五位：7206333403。所得之商又以3整除之：7687233403。 三.以第一位根除其次位，求出商数一位，即為次根：78 10/2 7233403。 四.以次根之平方於其次位减之，得：7863233403。 五.以3乘次根以次之二位：7819133403。又以首根乘次根以次之三位：7813403403。 六.於第二组减次根之立方得：7812891403。 七.求